MeanShift算法可以称之为均值漂移聚类，是基于聚类中心的聚类算法，但和k－means聚类不同的是，不需要提前设定类别的个数k。在MeanShift算法中聚类中心是通过一定范围内样本密度来确定的，通过不断更新聚类中心，直到最终的聚类中心达到终止条件。整个过程可以看下图，我觉得还是比较形象的。

MeanShift向量

MeanShift向量是指对于样本X1，在以样本点X1为中心，半径为h的高维球区域内的所有样本点X的加权平均值，如下所示，同时也是样本点X1更新后的坐标。

而终止条件则是指 ｜ Mh（X） － X ｜＜ε，满足条件则样本点X1停止更新，否则将以Mh（X）为新的样本中心重复上述步骤。

核函数

核函数在机器学习（SVM，LR）中出现的频率是非常高的，你可以把它看做是一种映射，是计算映射到高维空间之后的内积的一种简便方法。在这个算法中将使用高斯核，其函数形式如下。

h表示带宽，当带宽h一定时，两个样本点距离越近，其核函数值越大；当两个样本点距离一定时，h越大，核函数值越小。核函数代码如下，gaosi＿value为以样本点X1为中心，半径为h的高维球范围内所有样本点与X1的高斯核函数值，是一个（m，1）的矩阵。

def gaussian＿kernel（self，distant）：    m＝shape（distant）［1］＃样本数    gaosi＝mat（zeros（（m，1）））    for i in range（m）：        gaosi［i］［0］＝（distant．tolist（）［0］［i］＊distant．tolist（）［0］［i］＊（－0．5）／（self．bandwidth＊self．bandwidth））        gaosi［i］［0］＝exp（gaosi［i］［0］）    q＝1／（sqrt（2＊pi）＊self．bandwidth）    gaosi＿value＝q＊gaosi    return gaosi＿value

MeanShift向量与核函数

在01中有提到MeanShift向量是指对于样本X1，在以样本点X1为中心，半径为h的高维球区域内的所有样本点X的加权平均值。但事实上是不同点对于样本X1的贡献程度是不一样的，因此将权值（1／k）更改为每个样本与样本点X1的核函数值。改进后的MeanShift向量如下所示。

其中

就是指高斯核函数，Sh表示在半径h内的所有样本点集合。

MeanShift算法原理

在MeanShift算法中实际上利用了概率密度，求得概率密度的局部最优解。

对于一个概率密度函数f（x），已知一个概率密度函数f（X），其核密度估计为

其中K（X）是单位核，概率密度函数f（X）的梯度估计为

其中G（X）＝－K＇（X）。第一个中括号是以G（X）为核函数对概率密度的估计，第二个中括号是MeanShift 向量。因此MeanShift向量是与概率密度函数的梯度成正比的，总是指向概率密度增加的方向。

而对于MeanShift向量，可以将其变形为下列形式，其中mh（x）为样本点X更新后的位置。

MeanShift算法流程

在未被标记的数据点中随机选择一个点作为起始中心点X；

找出以X为中心半径为radius的区域中出现的所有数据点，认为这些点同属于一个聚类C。同时在该聚类中记录数据点出现的次数加1。

以X为中心点，计算从X开始到集合M中每个元素的向量，将这些向量相加，得到向量Mh（X）。

mh（x） ＝Mh（X） ＋ X。即X沿着Mh（X）的方向移动，移动距离是｜｜Mh（X）｜｜。

重复步骤2、3、4，直到Mh（X）的很小（就是迭代到收敛），记住此时的X。注意，这个迭代过程中遇到的点都应该归类到簇C。

如果收敛时当前簇C的center与其它已经存在的簇C2中心的距离小于阈值，那么把C2和C合并，数据点出现次数也对应合并。否则，把C作为新的聚类。

重复1、2、3、4、5直到所有的点都被标记为已访问。

分类：根据每个类，对每个点的访问频率，取访问频率最大的那个类，作为当前点集的所属类。

TIPS：每一个样本点都需要计算其漂移均值，并根据计算出的漂移均值进行移动，直至满足终止条件，最终得到的均值漂移点为该点的聚类中心点。

MeanShift算法代码

from numpy import ＊from matplotlib import pyplot as plt
class mean＿shift（）：    def ＿＿init＿＿（self）：        ＃带宽        self．bandwidth＝2        ＃漂移点收敛条件        self．mindistance＝0．001        ＃簇心距离，小于该值则两簇心合并        self．cudistance＝2．5
   def gaussian＿kernel（self，distant）：        m＝shape（distant）［1］＃样本数        gaosi＝mat（zeros（（m，1）））        for i in range（m）：            gaosi［i］［0］＝（distant．tolist（）［0］［i］＊distant．tolist（）［0］［i］＊（－0．5）／（self．bandwidth＊self．bandwidth））            gaosi［i］［0］＝exp（gaosi［i］［0］）        q＝1／（sqrt（2＊pi）＊self．bandwidth）        gaosi＿value＝q＊gaosi        return gaosi＿value
   def load＿data（self）：        X ＝array（［    ［－4， －3．5］， ［－3．5， －5］， ［－2．7， －4．5］，    ［－2， －4．5］， ［－2．9， －2．9］， ［－0．4， －4．5］，    ［－1．4， －2．5］， ［－1．6， －2］， ［－1．5， －1．3］，    ［－0．5， －2．1］， ［－0．6， －1］， ［0， －1．6］，    ［－2．8， －1］， ［－2．4， －0．6］， ［－3．5， 0］，    ［－0．2， 4］， ［0．9， 1．8］， ［1， 2．2］，    ［1．1， 2．8］， ［1．1， 3．4］， ［1， 4．5］，    ［1．8， 0．3］， ［2．2， 1．3］， ［2．9， 0］，    ［2．7， 1．2］， ［3， 3］， ［3．4， 2．8］，    ［3， 5］， ［5．4， 1．2］， ［6．3， 2］，［0，0］，［0．2，0．2］，［0．1， 0．1］，［－4， －3．5］］）        x，y＝［］，［］        for i in range（shape（X）［0］）：            x．append（X［i］［0］）            y．append（X［i］［1］）        plt．scatter（x，y，c＝＇r＇）        ＃ plt．plot（x， y）        plt．show（）        classlable＝mat（zeros（（shape（X）［0］，1）））        return  X，classlable
   def distance（self，a，b）：        v＝a－b        return sqrt（v＊mat（v）．T）．tolist（）［0］［0］    def shift＿point（self，point，data，clusterfrequency）：        sum＝0        n＝shape（data）［0］        ou＝mat（zeros（（n，1）））        t＝mat（zeros（（n，1）））        newdata＝［］        for i in range（n）：            ＃ print（self．distance（point，data［i］））            d＝self．distance（point，data［i］）            if d＜self．bandwidth：                ou［i］［0］ ＝d                t［i］［0］＝1                newdata．append（data［i］）                clusterfrequency［i］＝clusterfrequency［i］＋1        gaosi＝self．gaussian＿kernel（ou［t＝＝1］）        meanshift＝gaosi．T＊mat（newdata）        return meanshift／gaosi．sum（），clusterfrequency
   def group2（self，dataset，clusters，m）：        data＝［］        fre＝［］        for i in clusters：            i［＇data＇］＝［］            fre．append（i［＇frequnecy＇］）        for j in range（m）：            n＝where（array（fre）［：，j］＝＝max（array（fre）［：，j］））［0］［0］            data．append（n）            clusters［n］［＇data＇］．append（dataset［j］）        print（＂一共有％d个簇心＂ ％ len（set（data）））        ＃ print（clusters）        ＃ print（data）        return clusters
   def plot（self，dataset，clust）：        colors ＝ 10 ＊ ［＇r＇， ＇g＇， ＇b＇， ＇k＇， ＇y＇，＇orange＇，＇purple＇］        plt．figure（figsize＝（5， 5））        plt．xlim（（－8， 8））        plt．ylim（（－8， 8））        plt．scatter（dataset［：， 0］，dataset［：， 1］， s＝20）        theta ＝ linspace（0， 2 ＊ pi， 800）        for i in range（len（clust））：            cluster ＝ clust［i］            data ＝ array（cluster［＇data＇］）            if len（data）：                plt．scatter（data［：， 0］， data［：， 1］， color＝colors［i］， s＝20）            centroid ＝cluster［＇centroid＇］．tolist（）［0］            plt．scatter（centroid［0］， centroid［1］， color＝colors［i］， marker＝＇x＇， s＝30）            x， y ＝ cos（theta） ＊ self．bandwidth ＋ centroid［0］， sin（theta） ＊  self．bandwidth  ＋ centroid［1］            plt．plot（x， y， linewidth＝1， color＝colors［i］）        plt．show（）
   def mean＿shift＿train（self）：        dataset， classlable ＝ self．load＿data（）        m ＝ shape（dataset）［0］        clusters ＝ ［］        for i in range（m）：            max＿distance ＝ inf            cluster＿centroid ＝ dataset［i］            ＃ print（cluster＿centroid）            cluster＿frequency ＝zeros（（m，1））            while max＿distance＞self．mindistance：                w，cluster＿frequency ＝ self．shift＿point（cluster＿centroid，dataset，cluster＿frequency）                dis ＝ self．distance（cluster＿centroid， w）                if dis ＜ max＿distance：                    max＿distance ＝ dis                    ＃ print（max＿distance）                cluster＿centroid ＝ w            has＿same＿cluster ＝ False            for cluster in clusters：                if self．distance（cluster［＇centroid＇］，cluster＿centroid）＜self．cudistance：                    cluster［＇frequnecy＇］＝cluster［＇frequnecy＇］＋cluster＿frequency                    has＿same＿cluster＝True                    break            if not has＿same＿cluster：                clusters．append（｛＇frequnecy＇：cluster＿frequency，＇centroid＇：cluster＿centroid｝）        clusters＝self．group2（dataset，clusters，m）        print（clusters）        self．plot（dataset，clusters）
if ＿＿name＿＿＝＝＂＿＿main＿＿＂：    shift＝mean＿shift（）    shift．mean＿shift＿train（）

得到的结果图如下。

之后还会详细解说K－means聚类以及DBSCAN聚类，敬请关注。