贝叶斯定理

贝叶斯定理是关于事件A和事件B的条件概率。先认识一下这几个符号：

P（A｜B）：表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率

P（B｜A）：表示在事件A发生的情况下事件B发生的概率

通常在已知P（A｜B）的情况下，计算P（B｜A）的值，此时P（A｜B）可以称为先验概率，P（B｜A）称为后验概率。

这个时候贝叶斯定理就登场啦：

通过这个定理我们就可以计算出P（B｜A）的值。举个栗子：

一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0．9，在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？

我们假设 A 事件为狗在晚上叫，B 为盗贼入侵，则以天为单位统计，P（A） ＝ 3／7，P（B） ＝ 2／（20＊365） ＝ 2／7300，P（A｜B） ＝ 0．9，按照公式很容易得出结果：P（B｜A） ＝ 0．9＊（2／7300） ／ （3／7） ＝ 0．00058

贝叶斯定理延伸

其实到这里只是贝叶斯定理的简单版，下面来看看它的一般版。一般事件B的发生不止有一个影响因素，比如事件B为早上是否吃早餐，那么事件A1可以为几点起床，A2表示为早上是否有课，A3天气是否寒冷，．．．An食堂早餐卖到几点，这n个事件共同影响事件B是否吃早饭的发生，此时各事件的概率就发生了变化：

P（A）＝P（A1，A2，A3，．．．An）

P（A｜B）＝P（A1，A2，A3，．．．An｜B）

假设A1，A2，A3，．．．An都有两种结果，那么一共有2＾n个结果，对应需要的样本数也是呈指数增加，这显然是不合实际的，这时，就提出了半朴素贝叶斯和朴素贝叶斯。

这两个定理都有朴素二字，这二字什么意思呢？白话一点就是简化的意思，将A1，A2，A3，．．．An这n个事件的关联切断，假设它们是相互独立的，即P（A）＝P（A1，A2，A3，．．．An）＝P（A1）P（A2）P（A3）．．．P（An）；

P（A｜B）＝P（A1，A2，A3，．．．An｜B）＝

P（A1｜B）P（A2｜B）P（A3｜B）．．．P（An｜B）

这么一朴素，整个过程简单了不止一点点。但是事件A1可以为几点起床和事件A2表示为早上是否有课真的一点关联都没有吗？肯定是有关联的，将相关性很高的一些事件提出，P（A）＝P（A1，A2，A3，．．．An）＝

P（A1）P（A2）P（A3）．．．P（An）P（A1A2）；既不忽略事件的相关性，又拥有朴素的特性，这就叫半朴素贝叶斯。

半朴素贝叶斯

朴素贝叶斯分类的正式定义如下：

1、设

为一个待分类项，而每个a为x的一个特征属性。

2、有类别集合

3、计算

4、如果

则

基于属性条件独立性假设，现在来计算P（y1｜x），P（y2｜x），．．．P（yn｜x）。

对于所有类别来说P（x）是相同的，因此只需计算分子部分。

在实际计算时，为了避免下溢（小数点位数过高），一般会对等式两边同时进行Ln变形，将＊变为＋；这里ln为一个增函数，因此可以保证不改变P（yn｜x）的大小排序。

另一个需要注意的点是：样本数是有限的，不可能包括所有的情形，这时会出现P（xn｜yi）＝0，但是这种情况不出现是不等价于不发生的，这是用到拉普拉斯修正进行平滑：

P（xn｜yi）＝（N（结果yi发生的前提下xn发生的次数）＋1）／（结果yi发生的次数＋属性xn所有可能的取值）

数据预处理

上图是这次要用到的原始数据，一行代表一则广告。ham代表有用的广告，spam代表垃圾短信。预处理一共有三部：

第一步：将数据读入进来。

def read＿txt（）：
  file ＝ ＇C：／Users／伊雅／Desktop／bayes．txt＇
  with open（file， encoding＝＇utf－8＇） as f：
      con ＝ f．readlines（）
  return con

第二步：广告存到dataset中，分类结果存储到txt＿class中，得到一个词汇表将dataset中的广告用于split为一个一个的单词，并将长度小于1的单词去掉（a）

def create＿word＿list（con）：
  reg ＝ re．compile（r＇W＊＇）
  dataset ＝ ［］
  wordlist ＝ set（［］）
  txt＿class ＝ ［］
  for i in con［1：］：
      dataset．append（re．split（reg， i）［1：］）
      wordlist ＝ wordlist ｜ set（re．split（reg， i）［1：］）
      if re．split（reg， i）［0］＝＝＇ham＇：＃有用的邮件
          txt＿class．append（1）
      else：＃垃圾邮件
          txt＿class．append（0）
  wordlist＝［i for i in wordlist if len（i）＞2］
  return dataset，wordlist，txt＿class

第三步：对每一个广告做循环，通过函数words＿vec输入参数为每则广告的单词以及词汇表wordlists，返回一个文档向量，向量的每一个元素为0或1，分别表示词汇表中的单词在广告次中是否出现，如果出现该单词的index则更新为1，否则则为0。

def words＿vec（txt，wordlist）：
  returnvec＝［0］＊len（wordlist）
  for word in txt：
      if word in wordlist：
          returnvec［list（wordlist）．index（word）］＝1
  return returnvec

经过这三步把单词文本转化为了数学向量，大大简化了计算。