CPU 中的加法器，为什么可以连同符号位一起运算？

2021-04-08 09:29

4．补码的计算

我们先看一下这个问题：假设现在时间是 1 点整，但是你的手表进水了，它显示的是 3 点整，现在你怎么把时间调整到 1 点的位置？

方法1：把时针逆时针拨动 2 个小时（3 － 2 ＝ 1）；

方法2：把时针顺时针拨动 9 个小时到 12 点，然后再拨动 1 个小时（3 ＋ 10 ＝ 1）；

对于时钟表盘来说，每 12 个小时为一圈，可以认为：－2 ＝＝ 10，－1 ＝ 11，－3 ＝ 9，同样的：－2 ＝＝ 10，－2 ＝＝ 22，－2 ＝＝ 34，．．．

可以看到规律是：－2、10、22、34 这些数字对 12 取模都得到同一个数（取正数），在数学上，两个整数除以“同一个整数”，若得相同余数，则这两个整数同余。

表盘中的 12 就是这个“同一个整数”，可以看到这是一个可“溢出”的系统，－2、10、22、34 这几个数在表盘上表示的是一样的数，所以说这几个整数同余。

也就是说：在计算的时候，可以用 10、22、34 这几个数字来替换－2，替换之后的计算结果是相同的。

那么对于一个 8 位的二进制数来说，最多只有 8 位，在计算过程中，如果最高位产生了进位，就会被丢弃，所以它也是一个可“溢出”的系统。那么这里的“同一个整数”是多少呢？

从前面的内容中可以看到，使用补码表示的 8 位二进制数表示的范围是－128 ～ 127，一共是 256 个数，所以如果对 256 取模，得到相同的余数，那么这些数就是同余数。

例如：－2 和 254 对 256 取模，得到相同的余数，因此它俩就是同余数，那么在计算的时候，就可以用 254 来代替－2。

那么我们通过计算 3 ＋（－2）来验证一下。

（1）利用同余数来计算

3 ＋（－2）＝＝ 3 ＋ 254 ＝ 257

257 超过了最大的表示范围，所以溢出，结果就是 257 对 256 取模，结果为 1。

（2）直接用补码来计算

3 的补码是 0000＿0011，－2 的补码是 1111＿1110，在计算的时候，把符号位也参与运算：

结果也是 1，也就是说：

在二进制计算中，使用补码来计算，“天然”就满足了“同余定理”。

细心的读者可能已经发现了：－2 的二进制补码表示，与 254 的二进制自然表示，它们的形式是一样的！

这种“天然”性，是巧合？还是计算机前辈的设计结果？！

五、总结

这篇文章，我们探讨了计算机系统的软件基石：二进制系统，主要的目的是帮助你理解二进制的表示、计算方式。

希望你看完之后能够豁然开朗！如果对您的理解有帮助的话，请转发给身边的技术小伙伴，共同成长！

谢谢！

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